Gli Integrali, Teoria e Pratica!!!!!

Introduzione

Consideriamo ora l'integrale solo dal punto di vista algebrico, cioe' come integrale indefinito.
Quindi condideriamo l'integrale come operazione inversa della derivata

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Osservazione:

La derivata di una costante vale zero, quindi quando faremo un integrale potremo sempre pensare che assieme alla funzione che troveremo vi sia anche una costante aggiuntiva : sarebbe a dire che ogni integrale che faro' aggiungero' al risultato una costante (+c) perche' facendo la derivata quella costante diventera' zero.

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Questo ci porta a dire che l'integrale di una funzione non e' una funzione ma tante funzioni che differiscono per una costante: cioe' se ad esempio l'integrale di una funzione e' 3x allora saranno integrali anche 3x+1 come 3x+2, 3x-5 eccetera eccetera

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Tabella dei principali integrali indefiniti

Viene data ora la tabella dei principali integrali indefiniti: comunque, qualunque integrale che calcolerai, una volta calcolato potra' essere aggiunto alla tabella

Tabella Integrali Indefiniti

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Tabella applicata alle funzioni di funzione

Ricordando la regola per la derivata di una funzione di funzione

funzione: y = f[g(x)] derivata: y' = f '[g(x)] · g'(x)

Tabella funzione di funzione

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Calcolo di un integrale indefinito

Vediamo ora come procedere per calcolare un integrale indefinito
Come prima cosa devi vedere se l'integrale e' immediato, cioe' se e' compreso nella tabella degli integrali o e' riconducibile ad essi
Se l'integrale non e' immediato devi vedere se si puo' risolvere mediante sostituzione: in genere e' risolvibile per sostituzione se l'argomento dell'integrale contiene contemporaneamente una funzione e la sua derivata
Se l'integrale non e' per sostituzione dovrai provare l'integrazione per parti: potrai fare l'integrale per parti se l'argomento dell'integrale si puo' spezzare in due funzioni, una di cui conosci l'integrale e l'altra di cui conosci la derivata
Se ancora non hai risolto l'integrale osserva se e' una funzione razionale ed in tal caso usa il metodo per le funzioni razionali
Se poi non e' una funzione razionale prova a sviluppare la funzione in serie di potenze e fai l'integrale di ogni termine della serie
Vediamo ora , pagina per pagina, di studiare i metodi di integrazione cui ho fatto riferimento

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Alcune regole operative

Vediamo ora un paio di regole utilizzate per il calcolo degli integrali indefiniti (regole di linearita')
L'integrale di una somma di funzioni e' uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni
S[f(x) + g(x) + h(x)] dx = Sf(x) dx + Sg(x) dx + Sh(x) dx
Cioe' se ho una somma faccio l'integrale di ogni singolo termine

L'integrale di una costante per una funzione e' uguale alla costante per l'integrale della funzione
Sc*f(x) dx = c*Sf(x) dx
In pratica posso estrarre le costanti moltiplicative da un integrale

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Integrali immediati

Sono i piu' facili, in pratica devi vedere se l'integrale che consideri appartiene a qualche integrale della tabella.
Fai attenzione pero' che se l'argomento non e' la x ma una funzione allora dovra' essere presente anche la derivata della funzione.

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se hai bisogno di vedere le regole per esteso
(se te ne accorgi che si puo' fare in questo modo tanto meglio, se non te ne accorgi non succede niente: ti viene in automatico applicando l'integrazione per sostituzione)

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Qualcuno li indica anche come integrali per scomposizione, perche' si estraggono le costanti e si fa la somma degli integrali delle funzioni componenti; io preferisco chiamare integrali per scomposizione quelli dove si aggiunge o toglie qualcosa, come vedrai nella pagina seguente

Esercizi svolti sugli Integrali Immediati

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